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2018年07月20日

有一種劫數,叫12碼(下) - 馮睎乾

Getty Images

射12碼的小志強,向龍門四角的其中一角射波,我們不妨假設,只要林源三選中方向,必能成功攔截這猛虎射球──現實可能沒那麼簡單,比如說,猛虎射球速度太快,林源三猜中方向也趕不上,或衝力太強,即使林源三撲到了,也會連人帶波被射進龍門。但數學模型是簡化了的現實,我們先不考慮以上情況,只假設這是賭運氣:林源三猜中方向,就能力保不失,否則即被對方射入。按照這個模型,林源三撲出12碼的機會是四分一,即25%,而小志強的命中率自然是75%。
我們可不斷改良數學模型,令它更符合現實。例如小志強看穿林源三的策略,有時候會把球直接踢向龍門中間,那麼林源三撲哪個方向也無濟於事。考慮了這一點,林源三成功的機率便降至五分一,即20%,小志強的命中率則提高至80%。模型還能更精準嗎?當然可以。有情況是:小志強把球射偏了。不妨假設每20次射12碼,他便有一次射上太空,即是說,100次射球,有5球根本不中龍門。無論林源三跳哪個方向,甚或他臨時去了廁所,也有5%機會不失球。100球射門,撇除這5個衝上雲霄的球,剩下95球,分別射向五個方位(即龍門左上、左下、中間、右上和右下),林源三猜中的機會是20%,即能救出19球,加上那5球,用很簡單的算術便明白:林源三在100球中,守住了24球,然則射12碼的命中率就是76%。
《數學+體育》還提出另一數學模型,所謂「面積擬設」(Flaechenansatz):作者計算龍門面積,並估量林源三身體面積,從而計出他身體能覆蓋的範圍,佔龍門面積多少比例。這兒省略計算方法,直接告訴你作者的答案吧:約25%。換言之,12碼命中率就是約75%,結論跟第一個「賭博模型」吻合。作者最後分析了1987年至2007年德甲聯賽資料,發現12碼平均命中率是74.17%,跟兩個數學模型的推算相若,很神奇吧?數學確有「魔法」,往往比術數更神。但最有啟發性的道理是:面對十二碼,你有時候可以原地不動,只要把雙手攤開,隨緣畫幾下半圓,依然有四分一機會守住龍門──成功率跟你左撲右撲,毫無分別。人生成敗,不也是這樣嗎?

馮睎乾
電郵 :
philomusus@gmail.com

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